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14. 二重积分

对称性​

若积分区域为 DD，被积函数为 f(x,y)f(x, y)，记 ∬Df(x,y)dxdy=I\iint_{D}{f(x, y)dxdy}=I：

  1. 普通对称

    • 若区域 DD 关于 xx 对称，则 I=12∬D[f(x,y)+f(x,−y)]dxdyI=\frac{1}{2}\iint_{D}{[f(x,y)+f(x,-y)]dxdy}
    • 若区域 DD 关于 yy 对称，则 I=12∬D[f(x,y)+f(−x,y)]dxdyI=\frac{1}{2}\iint_{D}{[f(x,y)+f(-x,y)]dxdy}
    • 若区域 DD 关于原点对称，则 I=12∬D[f(x,y)+f(−x,−y)]dxdyI=\frac{1}{2}\iint_{D}{[f(x,y)+f(-x,-y)]dxdy}

  2. 轮换对称

    • 若区域 DD 关于直线 y=xy=x 对称，则 I=12∬D[f(x,y)+f(y,x)]dxdyI=\frac{1}{2}\iint_{D}{[f(x,y)+f(y,x)]dxdy}

积分法​

后积先定限，限内画直线，先交写下限，后交写上限。

参数方程表示的积分区域​

首先尝试将积分区域转化为直角坐标或参数方程。

若无法转换（假设先积 xx，先积 yy 同理）：

  • 令积分区域为 x=x(y)x=x(y)，即不写出具体表达式
  • 先按照常规累次积分将 xx 积出，得到 ∫f(x)dy\int{f(x)dy}
  • 将 xx 视为 x(t)x(t)，yy 视为 y(t)y(t)，即化为 ∫f(x(t))dy(t)\int{f(x(t))dy(t)}，最终可得到 ∫g(t)dt\int{g(t)dt}，继续计算即可