6. 二次型

最值问题

若矩阵 $A$ 的特征值大小排序为 $\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq ... \leq \lambda_n$，则：

• $\lambda_1x^Tx \leq x^TAx \leq \lambda_nx^Tx$
• $\lambda_1 \leq \frac{x^TAx}{x^Tx} \leq \lambda_n$

同时对角化

设 $A$、$B$ 为实对称阵，若 $AB=BA$ 则存在正交阵 $Q$ 使得 $Q^TAQ$ 和 $Q^TBQ$ 同时对角化。

正交化

施密特正交化：

• $v_1=v_1$
• $v_2=v_2-\frac{(v_2,v_1)}{(v_1, v_1)}v_1$
• $v_3=v_3-\frac{(v_3,v_1)}{(v_1, v_1)}v_1-\frac{(v_3,v_2)}{(v_2, v_2)}v_2$