线性代数1-2. 行列式和矩阵本页总览1-2. 行列式和矩阵 公式 互相复合自复合积结合（穿脱原则）{∣A−1∣=∣A∣−1(A−1)T=(AT)−1∣AT∣=∣A∣T(A∗)T=(AT)∗(A∗)−1=(A−1)∗∣A∗∣=∣A∣n−1\begin{cases} \lvert A^{-1} \rvert = \lvert A \rvert^{-1} \\ (A^{-1})^T=(A^T)^{-1} \\ \lvert A^T \rvert= \lvert A \rvert^T \\ (A^*)^T=(A^T)^* \\ (A^*)^{-1}=(A^{-1})^* \\ \lvert A^* \rvert= \lvert A \rvert^{n-1} \\ \end{cases}⎩⎨⎧∣A−1∣=∣A∣−1(A−1)T=(AT)−1∣AT∣=∣A∣T(A∗)T=(AT)∗(A∗)−1=(A−1)∗∣A∗∣=∣A∣n−1{(AT)T=A(A−1)−1=A∣∣A∣∣=∣A∣(A∗)∗=∣A∣n−2A\begin{cases} (A^T)^T=A \\ (A^{-1})^{-1}=A \\ \lvert\lvert A \rvert\rvert= \lvert A \rvert \\ (A^*)^*= \lvert A \rvert^{n-2}A \\ \end{cases}⎩⎨⎧(AT)T=A(A−1)−1=A∣∣A∣∣=∣A∣(A∗)∗=∣A∣n−2A{(AB)T=BTAT(AB)−1=B−1A−1∣AB∣=∣A∣∣B∣=∣B∣∣A∣=∣BA∣(AB)∗=B∗A∗\begin{cases} (AB)^T=B^TA^T \\ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \\ \lvert AB \rvert= \lvert A \rvert \lvert B \rvert= \lvert B \rvert \lvert A \rvert= \lvert BA \rvert \\ (AB)^*=B^*A^* \\ \end{cases}⎩⎨⎧(AB)T=BTAT(AB)−1=B−1A−1∣AB∣=∣A∣∣B∣=∣B∣∣A∣=∣BA∣(AB)∗=B∗A∗ k倍n次方（n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N）伴随{(kA)T=kAT(kA)−1=1kA−1∣kA∣=kn∣A∣(kA)∗=kn−1A∗\begin{cases} (kA)^T=kA^T \\ (kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1} \\ \lvert kA \rvert=k^n \lvert A \rvert \\ (kA)^*=k^{n-1}A^* \\ \end{cases}⎩⎨⎧(kA)T=kAT(kA)−1=k1A−1∣kA∣=kn∣A∣(kA)∗=kn−1A∗{(An)−1=(A−1)n(An)T=(AT)n∣An∣=∣A∣n(An)∗=(A∗)n\begin{cases} (A^n)^{-1}=(A^{-1})^n \\ (A^n)^T=(A^T)^n \\ \lvert A^n \rvert= \lvert A \rvert^n \\ (A^n)^*=(A^*)^n \\ \end{cases}⎩⎨⎧(An)−1=(A−1)n(An)T=(AT)n∣An∣=∣A∣n(An)∗=(A∗)n{A∗=∣A∣A−1AA∗=A∗A=∣A∣E\begin{cases} A^*=\lvert A \rvert A^{-1} \\ AA^*=A^*A= \lvert A \rvert E \\ \end{cases}{A∗=∣A∣A−1AA∗=A∗A=∣A∣E 单位阵和结合{E−1=EET=E∣E∣=1E∗=E\begin{cases} E^{-1}=E \\ E^T=E \\ \lvert E \rvert=1 \\ E^*=E \\ \end{cases}⎩⎨⎧E−1=EET=E∣E∣=1E∗=E一般的，{(A+B)T=AT+BT(A+B)−1≠A−1+B−1∣A+B∣≠∣A∣+∣B∣(A+B)∗≠A∗+B∗\text{一般的，} \begin{cases} (A+B)^T=A^T+B^T \\ (A+B)^{-1} \neq A^{-1}+B^{-1} \\ \lvert A+B \rvert \neq \lvert A \rvert + \lvert B \rvert \\ (A+B)^* \neq A^*+B^* \\ \end{cases}一般的，⎩⎨⎧(A+B)T=AT+BT(A+B)−1=A−1+B−1∣A+B∣=∣A∣+∣B∣(A+B)∗=A∗+B∗ 若 AB=BAAB=BAAB=BA，则有 A∗B=BA∗A^*B=BA^*A∗B=BA∗ 行列式 若 An×nA_{n\times n}An×n 可逆，有 BBB 为 n×kn \times kn×k 矩阵、CCC 为 k×nk \times nk×n 矩阵，则有： ∣A+BC∣=∣A∣∣E+CA−1B∣|A+BC|=|A||E+CA^{-1}B|∣A+BC∣=∣A∣∣E+CA−1B∣ 若 An×nA_{n\times n}An×n 可逆，则有： ∣ABCD∣=∣A∣∣D−CA−1B∣\left | \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right | =|A||D-CA^{-1}B|ACBD=∣A∣∣D−CA−1B∣ 若 An×nA_{n\times n}An×n 可逆，且 AAA、BBB、CCC、DDD 同阶，AC=CAAC=CAAC=CA，则有： ∣ABCD∣=∣AD−CB∣\left | \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right | =|AD-CB|ACBD=∣AD−CB∣ 若有矩阵 AAA 特征值为 λ1\lambda_1λ1、...、λn\lambda_nλn，则 ∣f(A)∣=f(λ1)⋅...⋅f(λn)|f(A)|=f(\lambda_1) \cdot ... \cdot f(\lambda_n)∣f(A)∣=f(λ1)⋅...⋅f(λn)。 若有 An×mA_{n \times m}An×m、Bm×nB_{m \times n}Bm×n，则 λn∣λEm−BA∣=λm∣λEn−AB∣\lambda^n|\lambda E_m-BA|=\lambda^m|\lambda E_n-AB|λn∣λEm−BA∣=λm∣λEn−AB∣。 秩 0≤r(A)≤min{m, n}0 \leq r(A) \leq min\{m, \; n\}0≤r(A)≤min{m,n} r(kA)=r(A)r(kA)=r(A)r(kA)=r(A) r(AB)≤min{r(A), r(B)}r(AB) \leq min\{r(A), \; r(B)\}r(AB)≤min{r(A),r(B)} r(A)−r(B)≤r(A±B)≤r(A)+r(B)r(A) - r(B) \leq r(A \pm B) \leq r(A) + r(B)r(A)−r(B)≤r(A±B)≤r(A)+r(B) ∣r(A−B)∣≤r(A−B)≤r(A)+r(B)|r(A-B)| \leq r(A - B) \leq r(A)+r(B)∣r(A−B)∣≤r(A−B)≤r(A)+r(B) r(A∗)={n, r(A)=n1, r(A)=n−10, r(A)<n−1r(A^*)=\begin{cases} n, \; r(A)=n \\ 1, \; r(A)=n-1 \\ 0, \; r(A) < n-1 \\ \end{cases}r(A∗)=⎩⎨⎧n,r(A)=n1,r(A)=n−10,r(A)<n−1 若矩阵 AAA 为 Am×nA_{m \times n}Am×n，矩阵 Pm×mP_{m \times m}Pm×m、Qn×nQ_{n \times n}Qn×n可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ) 若矩阵 Am×nA_{m \times n}Am×n、Bn×sB_{n \times s}Bn×s 满足 AB=OAB=OAB=O，则 (A)+r(B)≤n(A)+r(B) \leq n(A)+r(B)≤n r(A)=r(AT)=r(AAT)=r(ATA)r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA)r(A)=r(AT)=r(AAT)=r(ATA) r(AB)=r(BTA)r(AB)=r(B^TA)r(AB)=r(BTA) 对于实对称矩阵，有 r(AB)=r(BA)r(AB)=r(BA)r(AB)=r(BA) 余子式和代数余子式 代数余子式记为 AijA_{ij}Aij，余子式记为 MijM_{ij}Mij。 余子式是行列式，代数余子式是在余子式基础上代入数字的结果（即 Aij=(−1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}Aij=(−1)i+jMij） 行列式展开式使用的是代数余子式，即 AijA_{ij}Aij。