5. 特征值和相似

特征值

若有 $n$ 阶矩阵 $A$，存在特征值 $\lambda$ 和特征向量 $ξ$，则：

• $A ξ=\lambda ξ$
• $(kA) ξ=(k\lambda) ξ$
• $(A^k) ξ=(\lambda^k) ξ$（若 $A$ 可逆，则 $k$ 允许负数）
• $f(A) ξ=f(\lambda) ξ$
• $(A^*) ξ=(\frac{|A|}{\lambda}) ξ$
• $(P^{-1}AP) ξ=\lambda(P^{-1} ξ)$
• 若 $f(A)=O$，则 $f(\lambda)=0$

相似

若 $A \sim B$，则有：

• $r(A)=r(B)$
• $|A|=|B|$
• $tr(A)=tr(B)$
• 对于任意的 $\lambda$，有 $\lambda E-A \sim \lambda E-B$
• $\lambda_A=\lambda_B$，即 $A$、$B$ 具有相同的特征值