1-2. 极限

泰勒公式

• $\sin{x}=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+O(x^5)$
• $\arcsin{x}=x+\frac{1}{3!}x^3+O(x^3)$
• $\cos{x}=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+O(x^4)$
• $\tan{x}=x+\frac{1}{3}x^3+O(x^3)$
• $\arctan{x}=x-\frac{1}{3}x^3+O(x^3)$
• $\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+O(x^3)$
• $e^x=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+O(x)$
• $\alpha^x=1+\frac{1}{1!}(\ln{a})x+\frac{1}{2!}(\ln{a})^2x^2+O(x^2)$
• $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(1-\alpha)}{2}x^2+O(x^2)$

数列极限

若有 $x_{n+1}=f(x_n)$，且 $f'(x) \leq k < 1$，由压缩映射原理，可得数列 $\{x_n\}$ 收敛。（直接用无需证明）