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13. 多元微分

偏导数定义​

  • fx′(x0,y0)=∂f∂x∣x=x0, y=y0=lim⁡x→x0f(x,y0)−f(x0,y0)x−x0f'_x(x_0, y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}|_{x=x_0,\ y=y_0}=\lim_{x \to x_0}{\frac{f(x, y_0)-f(x_0, y_0)}{x-x_0}}
  • fy′(x0,y0)=∂f∂y∣x=x0, y=y0=lim⁡y→y0f(x0,y)−f(x0,y0)y−y0f'_y(x_0, y_0)=\frac{\partial f}{\partial y}|_{x=x_0,\ y=y_0}=\lim_{y \to y_0}{\frac{f(x_0, y)-f(x_0, y_0)}{y-y_0}}
  • (dydx)2≠d2ydx2(\frac{dy}{dx})^2 \neq \frac{d^2y}{dx^2}

偏导数链式求导规则​

若 z=z(u,v)z=z(u, v)，其中 u=u(x,y)u=u(x, y)、v=v(x,y)v=v(x, y)。

一阶偏导：

  • zz 对 xx 求一阶偏导：

    ∂z∂x=∂z∂u⋅∂u∂x+∂z∂v⋅∂v∂x\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=\frac{\partial{z}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{u}}{\partial{x}}+\frac{\partial{z}}{\partial{v}}\cdot\frac{\partial{v}}{\partial{x}}

  • zz 对 yy 求一阶偏导：

    ∂z∂y=∂z∂u⋅∂u∂y+∂z∂v⋅∂v∂y\frac{\partial{z}}{\partial{y}}=\frac{\partial{z}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{u}}{\partial{y}}+\frac{\partial{z}}{\partial{v}}\cdot\frac{\partial{v}}{\partial{y}}

二阶偏导：

  • zz 对 xx 求二阶偏导：

    ∂2z∂x2=∂(∂z∂u⋅∂u∂x)∂u⋅∂u∂x+∂(∂z∂u⋅∂u∂x)∂v⋅∂v∂x\frac{\partial^2{z}}{\partial{x^2}}=\frac{\partial{(\frac{\partial{z}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{u}}{\partial{x}})}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{u}}{\partial{x}}+\frac{\partial{(\frac{\partial{z}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{u}}{\partial{x}})}}{\partial{v}}\cdot\frac{\partial{v}}{\partial{x}}

  • ...

关于将某变量视为其他变量的函数还是视为常数：

  • 若由 F(x,y,z)=0F(x, y, z)=0 确定一个隐函数 z=z(x,y)z=z(x, y)，此时 dzdx=−Fx′Fz′\frac{dz}{dx}=-\frac{F'_x}{F'_z} 在求 Fx′F'_x 时，zz 当做常数而非 xx 的函数；

    求完 dzdx\frac{dz}{dx} 后求二阶导，此时表达式中的 zz 应视作 xx 和 yy 的函数。

  • 若 FF 本身是一个函数，此时有 F(x,y,z)F(x, y, z)，其中 z=z(x,y)z=z(x, y)，此时 dzdx=−Fx′Fz′\frac{dz}{dx}=-\frac{F'_x}{F'_z} 在求 Fx′F'_x 时，zz 当做 xx 的函数。

关于复合函数形式的多元函数，例如 f(g(x,y))f(g(x, y))：

  • f′=f′(g(x,y))f'=f'(g(x, y))，即 f′f' 代表对 g(x,y)g(x, y) 整体求导。
  • fx′=f′(g(x,y)) gx′(x,y)f'_x=f'(g(x, y))\ g'_x(x, y)，即 fx′f'_x 表示对 xx 求导，需遵循链式求导规则。

无条件极值​

开不开心少年团、大胡子爷爷和小哑巴猪.jpg

Δ=AC−B2\Delta=AC-B^2

若 Δ=0\Delta=0，则尝试从某一路径寻找反例证明不是极值，例如 f(0,y)f(0, y) 等。