15. 微分方程

一阶线性型

• $y'+p(x)y=q(x)$ 通解为： $$y=e^{-\int{p(x)dx}}(\int{e^{\int{p(x)dx}}\cdot q(x)dx}+C)$$

二阶可降阶

• $f(y'', y', y)=0$

  令 $y'=p(y)$，此时 $x=x(y)$，于是 $y''=\frac{d(y')}{dx}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p'\cdot p$，

  解方程得到 $p=p(y)$，将 $p$ 换回 $y'$ 求解即可。

• $f(y'', y', x)=0$

  令 $y'=p(x)$，此时 $y''=p'$，即可转化为一阶线性型。

• $f(y'', y', y, x)=0$

  考虑观察包含 $y''$ 的部分是否为一个整体 $g(x, y, y')$ 的全微分，令 $g(x, y, y')=u$，以 $u$ 为因变量求解即可。

高阶常系数线性

• $y''+py'+qy=0$

  令特征方程 $r^2+pr+q=0$：

  • 若特征方程存在两个不同的实根 $r_1$ 和 $r_2$，则通解为：

    $$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$$

  • 若特征方程存在两个相同的实根 $r$，则通解为：

    $$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$$

  • 若特征方程存在一对共轭复根 $\alpha \pm \beta i$，则通解为：

    $$y=e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x+C_2\sin\beta x)$$

• $y''+py'+qy=f(x)$

  令 $y''+py'+qy=0$ 的通解为 $y=y_1(x)$，$y''+py'+qy=f(x)$ 的一个特解为 $y=y_2(x)$，则原方程通解为：

  $$y=y_1(x)+y_2(x)$$

  其中对于 $y_2(x)$，记 $P_n(x)$ 为已知的 $x$ 的 $n$ 次多项式，记 $Q_n(x)$ 为 $x$ 待定系数的 $n$ 次多项式（即 $Q_n(x)=q_1x+q_2x^2+...+q_nx^n$，其中 $q_i$ 为待定系数）， 有：

  • 若 $f(x)=e^{ax} \cdot P_n(x)$，记 $k$ 为 $a$ 与特征方程的根相等的个数（复根也一样），则特解为：

    $$y^*=e^{ax}Q_n(x)x^k$$

  • 若 $f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x]$，则特解为：

    $$y^*=e^{\alpha x}[Q^{(1)}_l(x)\cos\beta x+Q^{(2)}_l(x)\sin\beta x]x^k$$

    其中 $l=\max\{m,n\}$，若 $\alpha \pm \beta i$ 是特征方程的共轭复根，则 $k=1$，否则 $k=0$。