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3-12. 一元微积分

极值点、拐点判别​

若 f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0 处 nn 阶可导，且 f(m)(x0)=0 (m=1,2,...,n−1)f^{(m)}(x_0)=0\ (m=1,2,...,n-1)，f(n)(x0)≠0f^{(n)}(x_0)\neq 0，则：

  • 若 nn 为偶数，则该点为极值点。将不等号顺时针旋转 90∘90^\circ，尖尖朝下则为极小值，朝上即为极大值。
  • 若 nn 为奇数，则该点为拐点。

凹凸性判别​

若 f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0 处 2n2n 阶可导，且 f(m)(x0)=0 (m=2,3,...,2n−1)f^{(m)}(x_0)=0\ (m=2,3,...,2n-1)，f(2n)(x0)≠0f^{(2n)}(x_0)\neq 0，则将不等号顺时针旋转 90∘90^\circ，尖尖朝下则为凹函数，朝上即为凸函数。

反函数求导​

若 y(x)y(x) 与 x(y)x(y) 互为反函数，则有：

  • x′(y)=dxdy=(dydx)−1=1y′(x)x'(y)=\frac{dx}{dy}=(\frac{dy}{dx})^{-1}=\frac{1}{y'(x)}
  • x′′(y)=ddxdydy=−y′′(x)(y′(x))3x''(y)=\frac{d\frac{dx}{dy}}{dy}=-\frac{y''(x)}{(y'(x))^3}

高阶导​

莱布尼茨公式：(uv)(n)=∑k=0nCnku(n−k)v(k)(uv)^{(n)}=\sum^{n}_{k=0}{C^{k}_{n}u^{(n-k)}v^{(k)}}

常见积分公式​

  • ∫a2−x2dx=a22(arcsin⁡xa+xa2−x2)+C\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}(\arcsin{\frac{x}{a}}+x\sqrt{a^2-x^2})+C
  • ∫a2+x2dx=12xa2+x2+a22ln(x+a2+x2a)+C\int\sqrt{a^2+x^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{a^2+x^2}+\frac{a^2}{2}ln(\frac{x+\sqrt{a^2+x^2}}{a})+C
  • ∫x2−a2dx=12xx2−a2−a22ln∣x+x2−a2a∣+C\int\sqrt{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}ln|\frac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a}|+C
  • ∫sec⁡xdx=ln∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\int \sec{x}dx=ln|\sec{x}+\tan{x}|+C
  • ∫sec⁡3xdx=12((sec⁡x)′+∫sec⁡xdx)=12(sec⁡xtan⁡x+ln∣sec⁡x+tan⁡x∣)+C\int \sec^3{x}dx=\frac{1}{2}((\sec{x})'+\int{\sec{x}dx})=\frac{1}{2}(\sec{x}\tan{x}+ln|\sec{x}+\tan{x}|)+C
  • ∫csc⁡xdx=ln∣csc⁡x−cot⁡x∣+C\int \csc{x}dx=ln|\csc{x}-\cot{x}|+C
  • ∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}+C
  • ∫1a2+x2dx=1aarctan⁡xa+C\int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C
  • ∫1a2−x2dx=arcsin⁡xa+C\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx}=\arcsin\frac{x}{a}+C

变限积分​

  • 若上下限中有一个是无穷，例如上限是无穷，即 F(x)=∫ϕ(x)+∞f(t)dtF(x)=\int_{\phi(x)}^{+\infty}{f(t)dt}，若 lim⁡x→∞f(t)=0\lim_{x \to \infty} f(t)=0，则 F′(x)=0−f(ϕ(x))⋅ϕ′(x)F'(x)=0-f(\phi(x))\cdot\phi'(x)
  • 若反常积分 ∫a+∞f(t)dt\int_{a}^{+\infty}{f(t)dt} 收敛，则 lim⁡x→∞∫x+∞f(t)dt=0\lim_{x \to \infty}{\int_{x}^{+\infty}{f(t)dt}}=0

区间再现​

  • ∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(a+b-x)dx}
  • ∫abf(x)dx=12∫ab[f(x)+f(a+b−x)]dx\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}{[f(x)+f(a+b-x)]dx}
  • ∫abf(x)dx=∫aa+b2[f(x)+f(a+b−x)]dx\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{\frac{a+b}{2}}{[f(x)+f(a+b-x)]dx}

反常积分敛散性​

利用放缩：

  • 常数不影响敛散性。
  • ...

将反常积分化为标准型：

∫1xαln⁡βxdx\int{\frac{1}{x^{\alpha}\ln^{\beta}{x}}dx}
  • 当 x→0x \to 0 时，{α=1, β>1α<1\begin{cases} \alpha=1,\ \beta>1 \\ \alpha<1 \end{cases} 收敛，其余发散。
  • 当 x→∞x \to \infty 时，{α=1, β>1α>1\begin{cases} \alpha=1,\ \beta>1 \\ \alpha>1 \end{cases} 收敛，其余发散。

即，任何情况下，当 α=1, β>1\alpha=1,\ \beta>1 时，反常积分必收敛，否则反常积分敛散性与 β\beta 无关，当 xx 的趋向与 α\alpha 相对于 1 的趋向相同时反常积分收敛，否则发散。

几何应用​

面积​

  • 直角坐标：S=∫ab∣f1(x)−f2(x)∣dxS=\int_{a}^{b}{|f_1(x)-f_2(x)|dx}
  • 极坐标：S=∫αβ12∣[r2(θ)]2−[r1(θ)]2∣dθS=\int_{\alpha}^{\beta}{\frac{1}{2}|[r_2(\theta)]^2-[r_1(\theta)]^2|d\theta}
  • 参数方程：S=∫aby(t)dx(t)=∫aby(t)x′(t)dtS=\int_{a}^{b}y(t)dx(t)=\int_{a}^{b}{y(t)x'(t)dt}

旋转体体积​

绕 xx 轴（极轴）

  • 直角坐标（ ∫abπr2dx\int_{a}^{b}\pi r^2dx）：V=∫abπy2(x)dxV=\int_{a}^{b}{\pi y^2(x)dx}
  • 极坐标（ ∫ab2⋅13πr2⋅ydθ\int_{a}^{b}{2 \cdot \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot yd\theta}）：V=∫ab2⋅13πr2(rsin⁡θ)dθV=\int_{a}^{b}{2 \cdot \frac{1}{3} \pi r^2(r\sin\theta)d\theta}
  • 参数方程（由直角坐标演变）：V=∫abπy2(t)dx(t)=∫abπy2(t)x′(t)dtV=\int_{a}^{b}{\pi y^2(t)dx(t)}=\int_{a}^{b}{\pi y^2(t)x'(t)dt}

绕 yy 轴（θ=π2\theta=\frac{\pi}{2}）

  • 直角坐标（ ∫ab2πr⋅ydx\int_{a}^{b}2\pi r \cdot y dx）：V=∫ab2πx∣y(x)∣dxV=\int_{a}^{b}{2\pi x|y(x)|dx}
  • 极坐标（ ∫ab2⋅13πr2⋅xdθ\int_{a}^{b}{2 \cdot \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot xd\theta}）：V=∫ab2⋅13πr2(rcos⁡θ)dθV=\int_{a}^{b}{2 \cdot \frac{1}{3} \pi r^2(r\cos\theta)d\theta}
  • 参数方程（由直角坐标演变）：V=∫ab2πx(t)∣y(t)∣dx(t)=∫ab2πx(t)∣y(t)∣x′(t)dtV=\int_{a}^{b}{2\pi x(t)|y(t)|dx(t)}=\int_{a}^{b}{2\pi x(t)|y(t)|x'(t)dt}

绕直线 Ax+By+C=0Ax+By+C=0

  • V=π(A2+B2)32∫ab[Ax+Bf(x)+C]2∣Af′(x)−B∣dxV=\frac{\pi}{(A^2+B^2)^{\frac{3}{2}}}\int_{a}^{b}[Ax+Bf(x)+C]^2|Af'(x)-B|dx

函数平均值​

f‾=积分值积分区间长度=∫abf(x)dxb−a\overline{f}=\frac{\text{积分值}}{\text{积分区间长度}}=\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}

弧长​

  • 直角坐标：s=∫ab(dx)2+(dy)2=∫ab1+(dydx)2dx=∫ab1+(y′(x))2dx=∫ab(x′(y))2+1dys=\int_{a}^{b}{\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}}=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx}=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+(y'(x))^2}dx}=\int_{a}^{b}{\sqrt{(x'(y))^2+1}dy}
  • 极坐标：s=∫αβ(rdθ)2+(dr)2=∫αβr2+(drdθ)2dθ=∫αβr2+(r′)2dθs=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{(rd\theta)^2+(dr)^2}}=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{r^2+(\frac{dr}{d\theta})^2}d\theta}=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{r^2+(r')^2}d\theta}
  • 参数方程：s=∫αβ(dx)2+(dy)2=∫αβ(dxdt)2+(dydt)2dt=∫αβ[x′(t)]2+[y′(t)]2dts=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}}=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt}=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt}

旋转体侧面积​

绕 xx 轴：∫ab2π∣y∣⋅弧长dx\int_{a}^{b}{2\pi |y| \cdot \text{弧长}dx}

  • 直角坐标：S=∫ab2π∣y(x)∣⋅1+(y′(x))2dx=∫ab2π∣x(y)∣⋅1+(x′(y))2dyS=\int_{a}^{b}{2\pi |y(x)| \cdot \sqrt{1+(y'(x))^2}dx}=\int_{a}^{b}{2\pi |x(y)| \cdot \sqrt{1+(x'(y))^2}dy}
  • 极坐标：S=∫ab2π∣rsinθ∣⋅r2+(r′)2dθS=\int_{a}^{b}{2\pi |rsin\theta| \cdot \sqrt{r^2+(r')^2}d\theta}
  • 参数方程（由直角坐标演变）：S=∫ab2π∣y(t)∣⋅[x′(t)]2+[y′(t)]2dtS=\int_{a}^{b}{2\pi |y(t)| \cdot \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt}

绕 yy 轴：∫ab2π∣x∣⋅弧长dx\int_{a}^{b}{2\pi |x| \cdot \text{弧长}dx}

  • 直角坐标：S=∫ab2π∣x∣⋅1+(y′(x))2dx=∫ab2π∣y∣⋅(x′(y))2+1dyS=\int_{a}^{b}{2\pi |x| \cdot \sqrt{1+(y'(x))^2}dx}=\int_{a}^{b}{2\pi |y| \cdot \sqrt{(x'(y))^2+1}dy}
  • 极坐标：S=∫ab2π∣rcosθ∣⋅r2+(r′)2dθS=\int_{a}^{b}{2\pi |rcos\theta| \cdot \sqrt{r^2+(r')^2}d\theta}
  • 参数方程（由直角坐标演变）：S=∫ab2π∣x(t)∣⋅[x′(t)]2+[y′(t)]2dtS=\int_{a}^{b}{2\pi |x(t)| \cdot \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt}

物理应用​

  • 变力沿直线做功：W=∫abF(x)dxW=\int_{a}^{b}{F(x)dx}

    其中 WW 为所做的功，F(x)F(x) 为力随位移 xx 变化的表达式。

  • 抽水做功：W=ρg∫abxA(x)dxW=\rho g\int_{a}^{b}{xA(x)dx}

    其中 ρ\rho 为水的密度，gg 为重力加速度，xx 为液面降低的距离，A(x)A(x) 为液面面积随 xx 变化的表达式。

  • 静水压力：P=ρg∫abx[f(x)−h(x)]dxP=\rho g\int_{a}^{b}{x[f(x)-h(x)]dx}

    其中 ρ\rho 是水的密度，gg 是重力加速度，xx 是平板上的位置与水面的距离，f(x)f(x) 和 h(x)h(x) 是平板的左右边界随 xx 变化的表达式。

相关物理公式​

  • 水压强：P=ρghP=\rho gh
  • 力做功：W=FxW=Fx
  • 万有引力：F=Gm1⋅m2r2F=G\frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}

形心​

x‾=∫abxf(x)dx∫abf(x)dxy‾=∫abf2(x)dx2∫abf(x)dx\overline{x}=\frac{\int_{a}^{b}{xf(x)}dx}{\int_{a}^{b}{f(x)}dx} \\ \overline{y}=\frac{\int_{a}^{b}{f^2(x)}dx}{2\int_{a}^{b}{f(x)}dx}

曲率​

  • 曲率：k=∣y′′∣[1+(y′)2]32k=\frac{|y''|}{[1+(y')^2]^{\frac{3}{2}}}
  • 曲率半径：R=1kR=\frac{1}{k}

点火公式​

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{sin^n(x)dx}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos^n(x)dx}=\begin{equation} \left\{ \begin{array}{**ll**} \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\ ...\ \cdot\frac{2}{3}\cdot 1, & n\ 为大于\ 1\ 的奇数\\ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\ ...\ \cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}, & n\ 为偶数\\ \end{array} \right. \end{equation}